Lösungsskizze zum Schneeball-Problem

Ein Schneeball verliert durch Abschmelzen innerhalb einer Stunde die Hälfte seiner Masse.
Wie lange dauert es noch ( auf Minuten gerundet ), bis er zur Gänze geschmolzen ist?


M:   Masse des Schneeballs.   Natürlich ist die Masse zeitabhängig! D.h.: M = M(t)
ρ:   Dichte des Schneeballs
r:   Radius   r = r(t)

Die Masse des Schneeballs berechnet sich über   M = ρ*Volumen = ρ*4*π*r3 / 3
dM/dr = ρ*4*π*r2     -->     dM = ρ*4*π*r2*dr
Daraus folgt für das infinitesimale Zeitintervall dt:    dM/dt = ρ*4*π*r2* (dr/dt)    (*)
Die Energieaufnahme ist offensichtlich proportional zur Oberfläche des Schneeballs. →    dM/dt = -k * Oberfläche = -k * 4 * π * r2    (**)    ( mit k als Proportionalitätskonstante )
Das negative Vorzeichen von k besagt, dass die Masse mit der Zeit abnimmt !

Durch Gleichsetzen von (*) und (**):      ρ*4*π*r2* (dr/dt) = k * 4 * π * r2     →     dr/dt = -k/ρ = -C     →    ( Trennung der Variablen und Integration )   r = R0 - C*t

Einsetzen in die Massenformel:   M = ρ*4*π*(R0- Ct)3 / 3
Die Kenntnis der Tatsache, dass die Hälfte der ursprünglichen Schneemasse nach 60 Minuten schmilzt, erlaubt die Bestimmung von C!
Für t = 60 gilt:   ρ*4*π*R03/ (2*3) = ρ*4*π*(R0 - C*60)3/3     →        C = R0* 3,438 * 10-3     →           M = ρ*4*π*R03 ( 1 - 3,438*10-3 * t )3 / 3

M = 0    →    1 - 3,438*10-3 * t = 0           →           Nach insgesamt   t = 291 Minuten   ist der Schneeball vollständig geschmolzen.

Somit lautet die Antwort:   trest = 291 - 60 = 231 Minuten !

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